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== Vector space(벡터 공간) == 체(field) F 위의 벡터공간 혹은 선형공간(linear space) V라고 하는 것은 대수구조의 일종이며, 벡터합과 스칼라배라는 두 가지 연산이 정의된다. 또한, ∀x,y∈V에 대해 x+y∈V와 ∀a∈F에 대해 ax∈V가 유일하게 성립하는 집합이며, 여덟가지의 벡터공간에 대한 '공리'를 만족한다. 참고로, 벡터공간은 하나의 개별적인 개체가 아니고 '대수구조'이기 때문에 그 어떤 개체라도 벡터공간의 공리를 만족하기만 한다면 얼마든지 벡터공간을 구성할 수 있다. 이를테면, 함수나 다항식도 가능하다. 벡터공간을 field위에서 정의하는 이유는 벡터공간을 구성하기 위한 스칼라를 체에서 긴빠이 쳐오기 때문이다. field는 대충 실수의 집합 R 혹은 복소수의 집합 C으로 생각하면 된다. (유리수 집합 Q도 있지만 이건 잘 안쓴다.) 1. 덧셈에 대한 가환성(commutativity) : ∀x,y∈V에 대해 x+y=y+x를 만족한다. 2. 덧셈에 대한 결합성(associativity) : ∀x,y,z∈V에 대해, (x+y)+z=x+(y+z)를 만족한다 * 식이 모호해지지 않는 한도 내에서 괄호를 어떻게 재배치하든 식의 결과는 동일하다. 즉, 공리2는 괄호의 사용 없이도 그 어떤 유한수의 벡터합을 모호하지 않게 정의할 수 있게 한다. 보통은 괄호의 사용을 지양하는 것이 좋다. 3. 덧셈에 대한 항등원(identity element)의 존재 : ∀x∈V에 대해 ∃0∈V∶x+0=x를 만족한다. * 이때의 0을 영벡터(zero vector)라고 한다.또한, 영벡터 하나만으로도 벡터공간이 구성된다. 이를테면, 0+0=0과 c0=0이 성립하는 식이다. 이를 영벡터공간(zero vector space)이라 하고 V={0}로 나타낼 수 있다. 4. 덧셈에 대한 역원(inverse element)의 존재 : ∀x∈V에 대해, ∃y∈V∶x+y=0를 만족한다. * 예를 들어, x에 대한 덧셈 역원(additive inverse) y는 -x가 되는 것이다. 이 입장은 상대적이어서 y의 기준에서는 x가 – y인 역원이다. 5. 스칼라배에 대한 항등원의 존재 : ∀x∈V에 대해, ∃1∈F∶ 1x=x를 만족한다. 6. 스칼라배에 대한 결합법칙 : ∀a,b∈F에 대해, ∀x∈V∶(ab)x=a(bx)를 만족한다 7. 스칼라 분배법칙(distributivity) : ∀a∈F에 대해, ∀x,y∈V∶a(x+y)=ax+ay를 만족한다 8. 벡터 분배법칙 : ∀a,b∈F에 대해, ∀x∈V∶(a+b)x=ax+bx를 만족한다 체 F의 원소들을 스칼라, 벡터공간 V의 원소들을 벡터라고 한다. 어떤 벡터공간에 대해 기술할 때는 벡터뿐만 아니라 그에 대해 성립하는 두 연산에 대해서도 명시하는 것이 좋다. [정리1] 벡터합 연산에 대한 소거법(cancellation law) : 만약 x, y, z가 x+z=y+z를 만족하는 벡터공간 V의 원소라면 x=y가 성립한다. [따름정리1] 영벡터의 유일성 : 영벡터는 반드시 하나로만 유일하게 존재한다. [따름정리2] 덧셈의 역원에 대한 유일성 : 덧셈에 대한 역원은 반드시 하나로만 유일하게 존재한다. [정리2] 스칼라배 연산의 기본성질 : 만약 x, y, z가 x+z=y+z를 만족하는 벡터공간 V의 원소라면 x=y가 성립한다. ::1번. ∀x∈V∶ 0x=0 ::ㄴ 즉, 영벡터는 임의의 벡터에 대해, 스칼라 0이 곱해진 것과 같다. ::2번. ∀a∈F에 대해,∀x∈V∶(-a)x=-(ax)∧(-a)x=a(-x)가 성립한다. ::ㄴ 스칼라와 벡터 간의 곱셉은 스칼라의 부호와 벡터의 방향을 동시에 바꾸어도 결과가 같다는 성질을 나타낸다. ::3번. ∀a∈F∶ a0=0 ::ㄴ 영벡터에 임의의 스칼라를 곱해도 여전히 영벡터이다. 영벡터는 사실 특정한 ‘방향성’을 갖지 않는데, 이는 영벡터가 다른 모든 벡터에 대해 항상 수직이기 때문이다. 다른 벡터와의 내적을 시도하면 항상 0이 나온다. 달리 말하면, 영벡터는 ‘모든 방향’을 다 가질 수 있다. 그렇기 때문에 ‘특정한’ 방향성이 없는 것이다.
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