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== Subspace(부분공간) == 체 F위의 벡터공간 V에 대한 부분집합 W가 있다고 해보자. 이 W가 벡터공간 V에 대해 정의된 두 연산을 계승하는 벡터공간이라면, 이 때의 부분집합 W를 V의 부분공간이라고 한다. 가장 큰 부분공간은 V 자기 자신이며, 가장 작은 부분공간은 V의 영부분공간 {0}이다. 이 둘은 모든 벡터공간이라면 반드시 가지는 부분공간이다. 부분집합은 원소를 취함에 있어서 별다른 제약이 없지만(관심있으면 집합론의 ZFC 공리계를 보라) 부분공간은 엄연한 대수구조이기 때문에 벡터공간의 공리를 그대로 갖다 만족해야한다. 하지만 부분공간도 벡터공간이라 벡터공간의 특성이 벡터공간의 임의의 부분집합의 원소에도 자동적으로 성립한다. 그래서 딱 세 가지만 기억하면 된다: [정리1] 부분공간의 특성 1번: 부분집합이 합 연산에 대해 닫혀있음(closed under) : ∀x,y∈W에 대해 x+y∈W이 성립한다. : 이 조건은 중요하다. 벡터공간에서 부분집합을 취할 때는 별다른 제약조건이 필요없기 때문이다. 최소한 벡터합 연산에 대해 닫혀 있도록 제한을 가해야한다. 2번 : 부분집합이 스칼라배 연산에 대해 닫혀있음 : ∀c∈F에 대해 x∈W∶cx∈W이 성립한다. 3번 : 부분집합이 영벡터를 포함하고 있음. : 어떤 벡터공간에 대한 '가장 작은' 부분공간이 영벡터 공간이기 때문이다. 절대 공집합이 아니다. 4번 : 부분집합의 각 벡터들에 대해, 각각 덧셈의 역원이 유일하게 존재한다. 세 가지만 기억하라면서 굳이 4번이 쳐 들어가 있는 이유는, W의 영벡터가 그것의 상위 집합인 V의 영벡터와 본질적으로 동일하기 때문에 이 특성의 불필요함을 들먹이기 위해서이다. 왜냐하면 그것들의 존재를 이미 벡터공간 V에 대한 공리에서 밝혔기 때문이다. (공리는 중복 X) 굳이 네 번째 특성을 안 집어넣어도 이미 첫 번째와 세 번째 특성에 의해 덧셈 역원의 존재가 충분히 함의되고 있다고 하는거 같다. 4번 빼고 세 가지 조건만 사용하면 어떤 벡터공간의 부분집합이 부분공간인지 아닌지를 간단히 결정할 수 있다. [정리2] 다른 부분공간으로 새로운 부분공간을 만드는 법 : 벡터공간 V에 대한 부분공간들의 임의의 교집합은 V의 부분공간이다. 예를 들어, V의 부분공간들에 대한 모임(collection)을 C라고 해보자. 이제 C 내의 원소(부분공간)들에 대한 교집합을 W라고 하겠다. C 내의 모든 부분공간들이 영벡터를 포함하기 때문에, 0∈W가 성립한다. 그 다음, ∀a∈F와 x,y∈W라고 가정하면 C의 각 부분공간들에도 x,y가 포함된다. 왜냐하면 그것들은 합과 스칼라배 연산에 대해 닫혀 있고, 이 사실은 x+y와 ax가 C의 각 부분공간에 존재한다는 뜻이 된다. 그렇기 때문에, 벡터공간 V의 부분공간들에 대해 임의의 교집합 W를 취해도 그것은 여전히 V의 부분공간이다. 정리2에서 더 나아가서, 부분공간들의 합집합(union)에 대해서도 알아보자. 이 부분은 뇌피셜이니까 누가 검증좀 W1⊂W2이라고 가정해보자. W1은 어차피 W2 안에서 놀기 때문에 W1의 원소들은 모두 그 안에 덧셈 역원이 존재한다. x∈W2이고 -x∈W1∩W2라고 해보자. 왜냐하면 더 작은 집합 W_1는 자신의 외부의 원소를 참조할 수 없기 때문이다. (왜냐하면 집합 자신의 영역 외부는 연산의 닫힘이 적용이 안되기 때문. 반대로, 큰 집합은 자신의 내부에 있는 작은 집합을 얼마든지 참조할 수 있다.) 이에 대한 영벡터는 W1∩W2에 존재한다. 결과적으로 x라는 값도 W1내에 있음을 알 수 있다. W2∖W1는 영벡터를 포함하지 않으므로 부분공간이 아니니 여기선 뽑지 않는다. 만약 일방적인 포함관계가 아니라면, W1과 W2에 있어서 ‘작은 집합’은 이 둘의 교집합 뿐이다. 교집합에서 이 W1과 W2를 참조하는 것은 불가능하지만, 이 둘이 교집합을 참조하는 것은 가능하다. x∈W1이라 해보자. -x는 어디에 있을 수 있는가? 일단 -x∈W1∩W2은 가능하다. 두 부분공간의 교집합은 부분공간이기 때문이다. 하지만 W1∖W2는 영벡터를 포함하지 않으므로 부분공간이 아니다. 그러면 무조건 -x∈W1∩W2이다. 그런데 W1∩W2의 입장에서는 자신의 역원이 W1∖W2로 밖에 있을 수도 있으므로 모순이다. 따라서 x도 사실은 W1∩W2에 있어야한다. 그렇게 하다보면 교집합을 제외한 나머지 영역은 마치 W1⊂W2인 경우의 W2∖W1와 유사해진다. 결국은 두 부분공간에 대한 합집합이 여전히 부분공간이려면 한 쪽이 다른 한 쪽을 일방적으로 포함하는 수 밖에 없다. 시발 이걸 그림으로 설명할 수 있으면 좋겠는데 결론 : 어떤 원소에 대해 역원을 더해 0이 나온다면 그 원소랑 역원은 한 세트로 교집합에 있어야한다. 아니면 아예 다른 집합에 있어야한다.
요약:
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