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{{진지}} * 관련 문서: [[집합]] == 설명 == [[수포자]]들이 [[수학]]공부한답시고 펴면 항상 이것만 하다 싸는 부분. 정작 집합 문제조차 못 푸는 종자들도 수두룩하다. 처음 할 땐 쉽지만 차집합과 부분집합, 여집합으로 가는 순간 너의 머가리가 똥멍청이가 되는 기분을 느낄거다. 국립국어원은 집합의 수학적 뜻을 다음과 같이 소개하고 있다. {{인용문|특정 조건(임의의 선별을 거침도 포함.)에 맞는 원소들의 모임. 임의의 한 원소가 그 모임에 속하는지를 알 수 있고,<br>그 모임에 속하는 임의의 두 원소가 다른가 같은가를 구별할 수 있는 명확한 표준이 있는 것을 이른다.}} == 용어 및 개념 == 2015 개정 교육 과정에서는 이런 중요한 용어들을 못쓴다고 하더라. ㅁㅊ. * 원소: 과학시간에 배우는 그 [[원소]] 말고 집합을 구성하는 객체를 뜻한다. 원소는 자연수든 함수든 집합이든 상관없다. {{인용|1은 집합 A의 원소다.는 1∈A로 표현한다.}} * 원소 나열법: 집합을 중괄호와 원소를 이용하여 서술하는 방법. 사실 표현하기 쉽지만 귀찮다. 예시) A = {1, 2, 3, 4 , [[빼애액]]} * 조건 제시법: {{수학|''x''}}바 {{수학|''x''}}는 어쩌구저쩌구 하는거. 집합을 집합에 포함되는 원소의 조건을 이용하여 서술하는 방법이다. {원소|원소의 특성} ← 이렇게. 예시) {{{수학|2''x''}}|{{수학|''x''}}는 10 이하의 자연수} ← 이것은 20 이하의 짝수의 집합이다. * [[벤 다이어그램]] * 공집합: 원소가 없어 텅텅 빈 집합. ∅ ← 이 기호를 쓴다. 그리스 문자의 ϕ와는 다른 고유 기호다.<br>헷갈리는 것은 {∅} ← 이거다. 중괄호 안에 공집합 기호가 있는 것은 공집합이 원소다. 이렇게 알려줘봤자 막상 문제보면 배배꼬아서 내기 때문에 존나 헷갈린다. * 상등: 교집합이 곧 합집합. 부분집합도 합집합. 말그대로 서로 같은 집합이다. 예로 들어 A = {1, 3, 5, 7, 12, 24}, B = {1, 3, 5, 7, 12, 24}라면 A = B가 된다. * [[교집합]] * [[합집합]] * [[차집합]] * [[여집합]] * [[부분집합]] :* 진부분집합 * 집합족(Class of sets) : 어떤 집합의 부분집합들의 집합을 그 집합의 Class of sets라 함. Class of sets의 부분집합은 Subclass라 함. * 멱집합(Power set) : 전체집합조 같은거 모든 부분집합들의 집합 어떤 집합 S의 Power set은 P를 이상하게 휘갈겨써서 P(S) 또는 2{{위첨자|S}}로 씀 얘에 관해서 칸토어 정리가 있다. 모든 집합은 자신의 카디널 넘버보다 자기의 멱집합의 카디널 넘버가 더 크다는 정리이다. 증명은 우선 작거나 같은 거는 g(a)={a}를 잡아서, 1-1임을 밝힌다. 그리고 같지 않다는, 귀류법으로 같다고 놓고, f라는 일대일대응 함수가 A->P(A)로 있다고 하고, B={x|x는 정의역에 속하고 f(x)에 안속함}이란 집합을 놓고, 임의의 정의역 원소 b가 f(b)=B라 하면, b가 B에 속하는 경우, b는 B에 대응될수 없어서 모순이 생기고, b가 B에 안 속하는 경우, B의 조건을 보면, b는 B 안에 있어야 되는데, 없어서 모순이 생긴다. 따라서 두 집합은 같지 않다. * 곱집합 : [[집합과 명제]] 문서에 * [[진리집합]] * 전체집합: 주로 {{폰트|바탕|U}}로 나타낸다. 이런 것을 벤 다이어그램으로 표현하면 [[파오후]]가 된다. 2005년 이후 수학체계에서 인정하지 않는 부분. 다만 고딩 수학 시간에는 부분 집합 배울 때 처음 집합을 전체 집합으로 해서 역설을 회피한다. * 원소가 n개인 집합의 멱집합의 개수=2{{위첨자|n}} 이유는 [[이항정리]]로 알수있음 == 집합의 연산 == {{인용문|알간? 모르간? 드모르간. |드모르간 법칙을 가르치는 중인 수학 선생}} * (A∪B){{위첨자|c}}=A{{위첨자|c}}∩B{{위첨자|c}} * (A∩B){{위첨자|c}}=A{{위첨자|c}}∪B{{위첨자|c}} * (1)A⊆B ↔ (2)AnB=A ↔ (3)AuB=B prove)(1) ↔ (2) (1) → (2) by 1, A⊆B, let x∈A, then x∈B and x∈AnB, so A⊆AnB, and AnB⊆A is a theorem, AnB=A (2) → (1) by 2, AnB=A, let x∈A, then x∈AnB, so x∈B, A⊆B prove)(1) ↔ (3) (1) → (3) by 1, A⊆B, let x∈AuB, then x∈A or x∈B if x∈A, then x∈B by 1 if x∈B, then AuB⊆B, and by theorem B⊆AuB, B=AuB (3) → (1) by 3, AuB=B let x∈A, then x∈AuB (A⊆AuB) and AuB=B, x∈B, so A⊆B (1) ↔ (2) ↔ (3) * An(BuC)=(AnB)u(AnC) An(BuC)={x:x∈A, x∈BuC}={x:x∈A,x∈B or x∈A,x∈C}=(AnB)u(AnC) * (AuB)-(AnB)=(A-B)u(B-A) (x-y=xny{{위첨자|c}}) (AuB)-(AnB)=(AuB)n(AnB){{위첨자|c}}=잘 전개하면 나옴 * n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB) * n(AuBuC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(BnC)-n(CnA)+n(AnBnC) (A,B,C are finite sets) :(AnB)n(BnC)=AnBnC prove)n(AuBuC)=n(AuB)+n(C)-n[(AuB)nC] =n(A)+n(B)-n(AnB)+n(C)-n[(AnC)u(BnC)]=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(AnC)-n(BnC)+n[(AnC)n(BnC)] =나옴 * A⊆B⇔AnB{{위첨자|c}}=Ø ->A⊆B이면 A의 원소이면서 B의 원소가 아닌건 없으므로 A-B=공집합 거꾸로도 성립 * A⊆B⇔B{{위첨자|c}}⊆A{{위첨자|c}} → A⊆B⇔AuB=B, B{{위첨자|c}}⊆A{{위첨자|c}}⇔B{{위첨자|c}}nA{{위첨자|c}}=B{{위첨자|c}}, (BuA){{위첨자|c}}=B{{위첨자|c}}, BuA=B( 두 집합의 여집합이 같을때 두 집합이 다른건 왠만해선 없다 있다면 [[추가바람]]) * AUB는 A-B, AnB, B-A의 disjoint union이다 prove)우선 저 3개가 교집합이 없단걸 증명할 이유는 없다 굳이 증명하라면 AnB{{위첨자|c}}와 교집합이니까 그렇다 {AnB{{위첨자|c}}}u{AnB}=An(BuB{{위첨자|c}})=A Au(BnA{{위첨자|c}})=(AuB)n(AuA{{위첨자|c}}=AuB * Au(AnB)=A=An(AuB) prove)일단 전개하면 저 두개는 같고, A⊆B일때랑 B⊆A일때랑 해보면 맞다 [[추가바람]] ===Duality=== 집합식에서 u,n,U(전체집합),공집합을 각각 n,u,공집합,전체집합으로 바꾸면 두 식은 서로의 Dual임 어떤 집합방정식이 항등식이면 그것의 Dual도 항등식임 == 집합의 농도 == 집합이 얼마나 많은 원소를 가지고 있는가, 어느 집합이 더 많이 원소를 가졌는가의 개념을 생각할 수 있는데, 그 비교는 일반적으로 두 집합 사이에 일대일 대응(bijection)이 존재하는가, 그렇지 않다면 어느 집합에서 어느 집합으로 일대일 함수(injection)이 존재하는가 등을 통하여 이루어진다. 기호는 |A| ←이거라고 하는데... 이는 크기보다는 농도 또는 기수(cardinal)라고 불린다. 무한 집합의 경우 초한기수라는 새로운 개념을 이용하여 정의한다. 인터넷 수학떡밥 중 하나가 여기에 포함되어있다. 인터넷 수학떡밥: [[0.999...]], [[몬티홀 문제]], [[무한집합의 농도 비교]] == 관련 문서 == * [[버트런드 러셀]] * [[불완전성 정리]] * [[수 체계]] 집합 :* [[사원수]] H :* [[복소수]] C ::* [[실수]] R :::* [[유리수]] Q ::::* 정수가 아닌 유리수 ::::* [[정수]] Z :::::* 음의 정수 :::::* [[0]] :::::* [[자연수]] N :::* [[무리수]] Q{{위 첨자|c}}∩R ::* [[허수]] R{{위 첨자|c}}∩C * [[유계]] * [[초한기수]] * [[연속체 가설]] * [[ZFC 공리계]] * [[선택 공리]] [[분류:집합론]]
요약:
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