원의 방정식

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설명

수(상) 과정에서 배우는 원의 방정식이다. 개념은 존나 쉬운데 문제에서 작정하고 출제하면 시발 존나 어렵다. 그리고 고등학생 1학년이 되었다면 모든 도형은 좌표계에 존재하고 직선, 원등 모든 도형의 이동은 수식적으로 표현되는게 머리속에 위치가 바로 떠오르도록 연습해야한다. 이게 중요한 이유는 기하와 벡터에서 중요하기 때문이다..

그래프 그리는데 왜 함수가 아니고 방정식이냐면 함수는 한 x값에 대응하는 y값이 한개여야 하는데 여러 x값이 한 y값을 가지는 건 되지만 한 x값이 여러 y값을 가지면 안 되기 때문이다. x²+y²=1에서 정의역은 -1<=x<=1, 공역도 -1<=x<=1이지만 -1<x<1일 때 x가 2개의 y값을 가지기 때문에 함수의 조건을 성립하지 못한다. 그래서 원의 함수가 아닌 방정식이라고 표현한다. 이건 나중에 수(하)에서 더 자세히 배운다.

원방 꿀팁

• 일단 원방에서 제일 중요한 3가지는 중심의 x좌표와 y좌표, 반지름(r)인데 (x-a)²+(y-b)²=r²이면 중심은 (a, b)이고 반지름은 r이다.

• 어떤 일차함수의 그래프가 원의 넓이를 이등분한다고 하면 그 일차함수의 그래프는 원의 중심을 지나는 것이니 일차함수에 중심 좌표를 대입해서 풀면 된다.

• 반지름이 r인 원이 x축과 y축 모두에 접한다면 그 원의 방정식은 (x-r)²+(y-r)²=r²이다.

• 원을 평행·대칭이동시키려면 중심을 먼저 구해서 중심을 평행·대칭이동시키고 새 중심으로 방정식을 작성한다. 당연하지만 반지름은 일정하다.

• 점 (x₁, y₁)과 직선 ax+by+c=0 사이 거리 공식은 |ax₁+by₁+c|/√a²+b²임을 이용해서 원의 중심과 직선 사이의 거리 d를 구하고 반지름 r과 비교했을 때 d<r이면 두 점에서 만나고 d=r이면 한 점, d>r이면 만나지 않는다.
  • 그 이유는 두 점에서 만나면 직선이 원 내부를 지나가기 때문에 중심에서 원의 한 점보다 직선에 내린 수선의 발이 더 가깝기 때문에 반지름보다 직선과의 거리가 더 가까워서 d<r이고, 한 점에서 만나면 접하기 때문에 접점과 수선의 발이 일치해서 d=r, 안 만나면 직선이 원의 한 점보다 더 멀기 때문에 d>r이다.