진자

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진자은(는) 과학입니다.

줄을 매단 물체가 양옆으로 좌우운동을 하는것을 말한다.

이움직임을 진자운동이라고 한다.

진자운동의 대표적예는 바이킹이나 롯데월드의 자이로스윙, 쏘우영회의 진자운동도끼트랩이 있다.

이 운동을 기술하는 미분방정식은

 $l d² θ / d t ² = - g sin θ$ 
l은 줄길이, g는 중력가속도
t는 시간, θ는 줄이 돌아간 각도

이다.

단진자 풀이[편집]

먼저 각진동수 $ω = \sqrt g / l$ 를 정의해 방정식을
$d² θ / d t ² = - ω ² sin θ$
이렇게 보기 좋도록 정리하자.

이어서 양변에 $2ㆍ d θ / d t$ 를 곱하면
$2ㆍ d² θ / d t ² ㆍ d θ / d t = -2 ω ² sin θ ㆍ d θ / d t$
이며 양변을 적분하면
$(d θ / d t)² = 2 ω ²(cos θ - cos θ 0)$
$= 4 ω ²(sin² θ 0 / 2 - sin² θ / 2)$ 이 됨.(θ₀은 최대각도 ㅇㅇ)

그 다음 양변에다 코서인² θ/2를 곱한 뒤 $sin θ / 2 = y sin θ 0 / 2$ , $cos θ / 2 d θ = 2d y sin θ 0 / 2$ 으로 치환하면 위 방정식은
$(d y / d t)² = ω ²(1 - y ²)(1 - y ² sin² θ 0 / 2)$ 으로 바뀜.

근데 이건 야코비 타원함수 미분방정식이니 y값은
$y = sn (ωt |sin² θ 0 / 2)$ 로 구해지고 이걸 θ에 관해 정리하면

 $θ = 2 Asin [sin θ 0 / 2 ㆍsn (ωt |sin² θ 0 / 2)]$ 
(단 θ₀<180°)

으로 나옴 ㅇㅇ 참고로 수식 간략화 할려고 t=0일때 가장 낮은 곳을 지나도록 잡았음.

이에 따라 진자 주기는 $4 / ω K (sin² θ 0 / 2)$ 로 구해짐 ㅇ