행렬

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파일:교육망신5.PNG

경고! 이 문서는 헬조선의 교육을 파탄낸 쓰레기 새끼들에 대해 다룹니다. 헬조선의 입시 현실을 1도 알지 못하고 자꾸 이상적인 대책만 내놓아 학생, 학부모, 교사, 교수들에게 엿을 먹인 교육부와 진보교육단체들에 대해 다루고 있습니다. 이들은 학문의 근본 수학, 과학(특히 물리) 교과 내용을 필수해제, 탈락시키거나 이들을 배울 기회를 박탈시켰습니다. 또한 선진국 따라하겠다고 학교 실정에 맞지 않는 정책을 억지로 끼워넣고 쓸데없이 예산이나 낭비했습니다. 특히 이들은 정시를 젤 극혐하고 수시를 그중에서 학종을 너무너무 좋아합니다. 만약 이들이나 이와 같은 사상을 가진 병신들을 만났을 경우 죽창을 번쩍들어 이들의 몸통을 관통해주시길 바랍니다. 하아 교육부 이놈 얼마나 많은 내용들을 뺀거야~

ㄴ예네들 때문에 행렬을 관짝에 처박혔다.

이 문서는 이과가 작성했거나, 또는 이과에 대해 다룹니다. 무슨 생각으로 작성한 건지는 잘 모르겠습니다만 맞는말임은 틀림 없습니다. 이과는 아다를 못 떼 마법을 쓰니까 말이죠...

수나 식같은 거 사각형으로 나열한 거다. 이게 뭐지 하고 생각할 수 있는데 그냥 연립방정식 풀이 어찌하지? 거리다가 계수만 따로 떼어서 만든 거라 생각하면 된다.

수능에서 2점 단순계산 문제와 3점 행렬의 그래프,연립방정식과 접목시켜 출제되'었던' 유형이다.

6월 9월 수능 중 복불복으로 4점 ㄱㄴㄷ 유형이 나왔는데 방향을 못잡으면 귀납형이나 무한등비보다 좆나 어려웠던 유형이다.

2017년 수능부터 교육과정에서 제외되었다. 좆같은 ㄱㄴㄷ유형은 명제가 대신 차지할 것으로 보인다.

그런데 명제는 문과 범위고 이과 수능에선 집합과 명제조차 안나온다. 그냥 미적2에서 ㄱㄴㄷ 가져가더라. 귀납형과 무한급수도 문과범위거.

덤으로 기하와 벡터에 일차변환이랑 행렬같이 생긴게 있었다. 사실 똑같다. 그래서 일차변환도 행렬과 사이좋게 교육과정 제외되었다. 현재는 고급수학 I에 있지만 아무도 이걸 배우지 않는다.

대학 미적분학에서는 벡터의 내적과 외적을 배울때 맛보기로 등장하며 수학과라면 선형대수, 물리과에서는 수리물리, 공머라면 공업수학의 형태로 본격적으로 배우게 된다. 특히 공대는 행렬 못하면 좆된다고 봐도 좋다. 연립방정식의 초간단 해법인 가우스-조르당 소거법이나 여러 수치해석 기법에서 행렬이 따른다.

근데 공대에서 못하면 좆되는게 행렬인데 어째서 고등학교 교육과정에서 맛보기로나마 배우던걸 뺐는지 얼척이 없다.

좆병신들 맛보기라도 개념을 알고가느냐랑 모르고가느냐는 차원이 다른데 왜뺌 도대체?

더 웃긴건 빼기전엔 일차변환까지 배워서 사실상 선형대수를 조금이나마 배우게 했다는거다. 교육부새끼들 하나같이 다 문과충인가보다.

ㄴ인정한다

행렬의 곱셈

덧, 뺄셈에 비해 아주 ㅈ같기로 유명하다. 다들 알겠지만, 다음과 같은 방식으로 곱하면 된다.

a11 a12 a13　　　　　b11 b12

a21 a22 a23　　　　　b21 b22

a31 a32 a33　　　　　b31 b23

이 두 행렬을 곱한다고 해보자. 두 번째 행렬을 살짝 올려서 다음과 같은 모양으로 만들어보자:

　　　　　　　　b11 b12

　　　　　　　　b21 b22

　　　　　　　　b31 b23

a11 a12 a13　　　1　 2

a21 a22 a23　　　3　 4

a31 a32 a33　　　5　 6

역 L자 모양으로 곱한다. 이 두 행렬은 역 L자를 구성하는 행렬 요소들이 각각 3개로 일치하기 때문에 곱할 수 있다. 만약 4개, 3개로 다르면 두 행렬은 직접적으로 곱할 수 없다.

먼저, 대각선 / 방향으로 보고 곱해나간다. b11*a11, b21*a12, b31*a13은 1번 위치로 떨어지게 되므로, 두 행렬의 곱셈으로 생성되는 '새 행렬' C의 c11은 b11*a11+b21*a12+b31*a13이 되는 것이다.

나머지 요소들에 대해서도 똑같이 하면 된다.

참고로 행렬은 곱셈에 대한 교환법칙이 항상 성립하지 않는다. 즉, 그 어디에도 가환법칙이 성립한다고 말한 적이 없는데 일반적인 미지수마냥 가환법칙이 늘 그랬듯이 당연하게 성립할거라고 생각해서 AB = BA라고 자리를 좆대로 바꾸면 불법이라는 말이다. 행렬의 이런 비가환적인 성질은 두 연산자의 교환자 관계 [A, B] = AB - BA를 셈할때 써먹을 수 있다. 왜냐하면 연산자는 곧 행렬로 표현되기 때문이다.

곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 두 행렬은 서로 교환(commute)관계에 있다고 하며, 이 값이 항등행렬이면 해당하는 두 행렬은 가역 또는 정칙이며 역행렬 관계에 있다고 말한다. 예를 들어, 교환자 관계 [A, B]가 0이면 두 연산자(행렬)는 가환된다는 뜻이고 두 가지의 관측가능량 A, B는 서로 불확정적이지 않다는 뜻(즉, 양립할 수 있다)이다. 좀 더 간단히 말하면, 측정 A를 시행하고 이어서 측정 B를 시행하는 것과, 측정 B를 먼저하고 A를 그 다음에 하는 것 사이에 그 어떤 차이점도 없다는 뜻

기본정리를 배우면 정의가 왜 이따위인지 알게된다.

행렬의 종류

주로 행렬 안에 원소 배열이 어떻게 되어있느냐에 따라 특수한 이름을 붙이기도 한다.

항등행렬(identity matrix) : 주대각선상의 원소가 전부 1이고, 나머지 원소는 전부 0인 정방행렬. 대수에서 항등원같은 존재다. 크기가 맞는 아무 행렬에 이녀석을 곱하면 원래의 행렬을 얻는다. 표기는 항등(identity)에서 따와서 I라고 하는 편이다.

첨가행렬(augmented matrix) : 일차연립방정식(선형계)에서 계수들만 뽑아 행렬로 쓴 것이다.

영행렬(zero matrix) : 모든 원소가 0인 행렬이다. 표기는 그냥 간단히 0이다.

역행렬(inverse matrix) : 어떤 행렬 A에 B라는 행렬을 가했더니 항등행렬 I가 나왔다. 그럼 그 B는 A에 대한 역행렬이 되는 것이다. 이러한 변환을 역변환이라고 한다.

삼각행렬(triangular matrix) : 주대각선 위 또는 아래의 원소가 전부 0인 행렬이다. 직접 그려보면 왜 삼각행렬이라 이름을 붙였는지 알 수 있다. 이때, 위쪽 삼각형에 요소가 있으면 상삼각형, 아래쪽 삼각형에 요소가 있으면 하삼각형이라고 한다.

전치행렬(transposed matrix) : 행과 열이 바뀐 행렬이다. 주대각선을 기준으로 데칼코마니마냥 접어버린다고 생각하면 된다. 기호로는 대개 윗첨자 T(transpose)를 쓰는 편이다. 물리학에서는 간혹 '~' 를 쓰기도 한다.

대칭행렬(symmetric matrix) : 주대각선을 기준으로 데칼코마니인 행렬이다. 이녀석은 전치를 시켜도 똑같은 행렬이다.

정방행렬(square matrix) : 열과 행의 사이즈가 똑같은 행렬이다. 전체 크기는 상관없다. 행과 열의 사이즈만 똑같으면 된다.

기본행렬(elementary matrix) : 항등행렬에 기본 행연산을 딱 한 번만 시행한 행렬이다. 어떤 행렬 A에 이녀석을 왼쪽에서 곱해준 것과 A에 해당하는 기본 행연산을 취한 값은 같다. 역행렬을 구하는 기본 알고리즘을 알고 싶으면 반드시 배워야 한다.

여인수행렬(cofactor matrix) : 행렬의 각 원소의 여인수를 해당 원소의 위치에 넣어 구성한 행렬이다. 이것의 전치행렬을 딸림행렬(adjoint matrix)이라 한다.

어떤 행렬을, 선형변환을 통해 다른 유형의 행렬로 바꿀 수 있다. 일례로, 어떤 행렬을 역변환하면 역행렬이 나오고 어떤 행렬을 전치 변환하면 전치 행렬이 나오는 식.

이러한 개념들은 물리에서도 지겹도록 쓰인다. 예를 들어, 양자역학에서 작용소(operator)라는 것을 선형변환(linear transformation) L : V -> W의 행렬 표현(representation)을 사용하여 나타낼 수 있다. 예를 들면, 관측가능량(observable)과 관련있는 '에르미트 연산자(Hermitian operator)'는 전치 변환(보통 '~'로 표기) 과 켤레 변환 (위첨자 *로 표기)이 가해진 행렬이다. 이 결과로 나오는 것이 에르미트 행렬(hermitian matrix) 혹은 수반 행렬(adjoint matrix)라고 하는 것이다.

행렬식(Determinant)

행렬의 판별식이라고도 하며, 판별식의 영문명인 determinant를 따라, A의 행렬식은 det(A)라고 쓴다. 본래 일차연립방정식의 해를 대수적으로 구하기 위해 고안된 도구였는데, 막상 정리해놓고 나니 여러 분야에 편리하게 쓰여서 수학자들이 유레카를 외쳤다. 어떤 행렬에 대해, 대각 행렬의 성분 λ들을 빼서 그것의 행렬식 det를 0이라고 놓고 고유값을 찾는데 자주 쓰인다.

일반화된 행렬식을 구하는 방법 중 하나는 여인수 전개를 이용하는 것이다. 행렬의 한 원소를 기준으로 그 원소가 속한 행과 열을 지운 뒤 남은 행렬을 소행렬이라 하고, 이것의 행렬식을 소행렬식이라 한다. 이 소행렬식을 구성한 원소가 있었던 자리에 체커판마냥 +,-를 붙여 구성한 것이 여인수(cofactor)다. 한 행 또는 열을 기준으로 잡고 그에 속한 원소들과 여인수를 차례로 곱해 더하면 행렬식을 얻을 수 있다. 여인수 전개는 모든 행 또는 열에 대해 같은 값을 지닌다. 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 여인수를 곱해 전개하면 그 값은 0이 되며, 이는 여인수 행렬을 통해 역행렬의 공식을 구하는 중요한 열쇠가 된다.

역행렬

선형대수 같은 전공서적을 조금만 찾아 공부해보면 역행렬이 어떻게 정의되는지 알 수 있다. A의 역행렬은 분모와 분자에 각각 A의 행렬식과 딸림행렬을 넣어 정리하면 된다.

케일리-해밀턴의 정리

지금으로 치면 로피탈의 정리와 비슷한 대우를 받았던 정리이다. 행렬 거듭제곱같은 거 할 때 매우 편하다.

참고로 역은 성립하지 않는다.