오일러 공식

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개요[편집]

$e ix =cos x +i sin x$

원래는 로저 코츠라는 사람이 발견했는데 책에 처음으로 실린 게 레온하르트 오일러의 책이라서 오일러 공식으로 불린다. 이거 오일러가 발견한거 아니니까 아는 척 하지 마라.

그리고 x 값에 π를 대입하면 $e i π +1=0$ 이라는 마법의 식이 나온다.

복소평면에서 각도가 π일 때 좌표를 보면 문과라도 그림만 보고 5초 안에 이해가 가능하다.

증명[편집]

<youtube width="480" height="240">Tk3PIpcppV0</youtube>
주소

테일러 급수[편집]

먼저 테일러 급수라는 걸 이해해야 되는데, 예를 들어 $f (x)= e x$ 와 $g (x)= a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + a 3 x 3 \dots$ 라는 함수를 놓고 보자.

$f (x)= g (x)$ 가 되려면 우선 $a 0$ 부터 확정시켜야 하는데, $x =0$ 을 각 함수에 대입하면 $f (0)= e 0 =1$ 이고, $g (0)= a 0$ 이므로 $f (0)= g (0)$ 에서 $a 0 =1$ 이다.

이제 나머지 $a 1, 2, 3\dots$ 들을 구해야 하는데, 이번에는 대입 전에 두 함수를 미분하자.

참고로 $e x$ 는 미분해도 그대로 $e x$ 이기 때문에 $f'(x)=e x$ 이다. $g'(x)=a 1 +2a 2 x+3a 3 x 2 +\dots$ 식으로 전개된다.

둘 다 미분이 됐으니 0을 대입하자. $f'(0)=e 0 =1$ , $g'(0)=a 1$

$f'(0)=g'(0)$ 이어야 하므로 $a 1 =1$ 이다.

그 다음에는 더블 미분, 트리플 미분, 쿼드코어 미분…… 식으로 반복해야 한다.

$f''(x)=e x$ 로 0을 대입하면 항상 1이 나온다.

$g''(x)=2a 2 +(3\times2)a 3 x+\dots$ 로 0을 대입하면 2a₂가 나온다. 2a₂=1에서 a₂=1/2.

이런 식으로 미분 세 번, 네 번 한 식에 계속 0을 대입하고 a들의 값을 구해야 한다.

일일히 계산할 필요 없이 자세히 보면 규칙이 보인다. 위의 (3×2) 보이는가? 세번 미분한 식을 해왔던 대로 하면 6a₃=1, a₃=1/6일 것이다.

미분의 원리를 안다면 그 다음에는 계속 4×3×2, 5×4×3×2(이하 5!), 6!, 7! 식으로 a의 단위분수 계수의 분모가 진행이 될 것이라는 것도 볼 수 있다.

이번에는 다시 f(x)=g(x)로 돌아가자. $f(x)=e x$ 이고 g(x)에는 위처럼 규칙적인 a들의 향연이 될 것이다.

구했던 a들을 각각 대입하면

$e x =1+x+ 1 / 2 x 2 + 1 / 3! x 3 + 1 / 4! x 4 +\dots$ 이다. 시그마를 이용해 나오는 식이 테일러 급수이다.

“

$e x =Σ \infty n=0 x n / n!$

”

오일러 공식[편집]

위의 테일러 급수는 웬만하면 배우기 힘든 부분인데다가 오일러 공식을 이해하기 위한 과정 중 중요한 단계라서 일일히 설명했지만 여기서부터는 사인함수와 코사인함수의 급수도 같이 진행해야 한다.

이건 사인/코사인의 특징 찾아봐도 나오니까 설명은 생략하고 결론부터 알려준다.

$sin x=x- 1 / 3! x 3 + 1 / 5! x 5 - 1 / 7! x 7 +\dots$
$cos x=x- 1 / 2! x 2 + 1 / 4! x 4 - 1 / 6! x 6 +\dots$

이제 니들이 궁금한 iθ가 나온다. 일단 위 테일러 급수는 허수를 대입해도 성립한다는 점을 알아둬야 한다.

i²=-1임을 기억하고 문제를 풀자. 마지막에 실수부분과 허수부분을 나눌 것이다. 테일러 급수의 x에 iθ를 대입하면

$e iθ =1+iθ+ 1 / 2! (iθ) 2 + 1 / 3! (iθ) 3 + 1 / 4! (iθ) 4 +... =(1- 1 / 2! θ 2 + 1 / 4! θ 4 -\dots)+i(θ- 1 / 3! θ 3 + 1 / 5! θ 5 -\dots)$

그런데 빨간색으로 칠한 부분과 파란색으로 칠한 부분 어디서 보지 않았는가? 그렇다. 위에서 설명한 사인과 코사인의 급수의 미지수 부분만 x에서 θ로 바뀐 것이다.

빨간 부분은 cos θ로 치환 가능하고, 파란 부분은 sin θ로 치환 가능함을 알 수 있다. 위의 식은 θ를 x로 바꾸어 이렇게 표현이 가능하다.

“

$e ix =cos x+i sin x$

”

오일러 등식[편집]

사실상 이 문서가 생긴 이유이자 최종 목표다. 문서 제목은 오일러 공식이지만 이거 증명하려고 문서 만들었다.

cos π=-1, sin π=0임을 이용해 식을 계산하자.

오일러 공식의 미지수에 π를 대입하면 $e iπ =cos π+i sin π=-1+i\times0=-1$

이렇게 생긴 등식의 양변에 +1을 더하면

“	$e iπ +1=0$	”
	— 오일러 등식

이 공식이 주목받는 이유는 수학의 대표적인 5개 상수(e, i, π, 1, 0)가 아주 간결한 한 식에 모였기 때문이다.