옵션
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선도(forward), 선물(futures), 혹은 스왑(swap)같은 파생상품의 일종이다. 금융수학이나 금융공학에서 배움.
개요[편집]
종류에는 콜 옵션(call option)과 풋 옵션(put option)이 있는데, 콜 옵션은 기초자산을 행사가격에 살 수 있는 권리고,
풋 옵션은 기초 자산을 행사가격에 팔 수 있는 권리를 뜻한다.
일단 이 둘을 이해하기 전에 몇 가지 단어들의 의미를 잠깐 짚고 넘어가겠다.
먼저, 포지션(position)은 네가 사는 입장인지 파는 입장인지를 나타내는 단어다. 네가 사는 입장이라면 롱 포지션(long position)에 있다고 하고,
네가 파는 입장이면 쇼트 포지션(short position)에 있다고 한다.
이 두 단어는 동명사처럼 쓰기도 한다. "주식을 산다"는 표현을 "taking a long position in stock"이라고 할 수도 있고,
"longing the stock" 이라고 할 수도 있다. 반대로 "주식을 판다"는 표현을 "shorting the stock"이라고 해도 된다.
기초 자산 (underlier, underlying asset), 혹은 대상 자산은 파생상품의 가격의 근거가 되는 자산을 의미한다.
권리를 행사하는걸 "옵션을 엑서사이즈(exercise)한다" 라고 한다. 행사 시기에 따라서 또 옵션의 종류가 나눠지는데, 만기일에만 행사할 수 있는
유로피언(European) 옵션이 있고, 만기일을 포함해서 그 어느시점에라도 행사할 수 있는 아메리칸(American) 옵션, 또 행사 가능한 때가 만기일 이외에
"만기일 이전까지 매 달 두 번째주와 네 번째주의 금요일" 이런 식으로 행사 가능한 날짜가 정해진 버뮤단(Bermudan) 옵션 등이 있다.
왜 저 지명들로 이름이 붙었는지는 모르겠다.
옵션의 가격을 프리미엄(premium)이라고 한다.
마지막으로, 페이오프(payoff)란 행사시점에서 어떤 포지션에게 돌아오거나 나가는 돈의 합차를 뜻하고, 프로핏(profit)이란 행사시점에서의
페이오프 빼기 (처음 파생상품을 지불했을 때의 비용 곱하기 (1 + 이자율)^(0에서 행사 시점까지의 기간)), 혹은
페이오프 빼기 (처음 파생상품을 지불했을 때의 비용 곱하기 e^(0에서 행사시점까지의 기간 곱하기 순간 이자율))이다.
위의 프로핏에서 나오는 e는 너네가 아는 그 2.718... 의 e 맞다.
아래 문서에서 설명하는 주식은 모두 배당금이 0원일 때를 가정한 주식이니 참고해라.
콜 옵션[편집]
지금 이 시점에서 한 주당 "S_0"원의 어떤 주식이 있다고 하자. 이 주식에 대한 콜 옵션을 사려고 한다면 너는 콜 옵션에서
롱 포지션을 취하는 것이다. 이 콜 옵션이 유로피언이고 만기 시점이 T년 후라고 하겠다. T년 후, 주식의 가격은 "S_T"원이 되어있을 것이다.
순간 이자율을 r, 행사가격을 K, 그리고 콜 옵션의 프리미엄을 C_(0,K)원이라고 하겠다.
위의 예시에 나오는 콜 옵션은 만기일의 페이오프가 Payoff_T = max(S_T - K, 0)이다. 옵션은 앞서 설명했듯이 권리이기 때문에, 만약 행사한다면
S_T - K가 롱 포지션을 취한 당사자에게 돌아오는 것이고, 행사하지 않는다면 0의 페이오프가 t=T 시점에 발생하는 것이다. 반대로, 위의 콜 옵션을
판매한 쇼트 포지션의 당사자는 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사했을 때의 페이오프가 -(S_T - K) = K - S_T이고, 행사하지 않았을 때의 페이오프가 0이다.
어떤 경우에 롱 포지션이 옵션을 행사하는가는 뻔하다. 페이오프가 양수일 때이다. 반대로, 페이오프가 양수가 아니라면 옵션을 행사하지 않을 것이다.
참고로 "페이오프"가 양수일 때 행사하는 거지, "프로핏"이 양수일 때 행사하는 것이 아니다. "프로핏"이 음수더라도 "페이오프"가 양수라면 옵션을 행사한다.
"페이오프"가 양수일 경우, "프로핏"이 음수더라도 행사했을 때 절대값이 좀 더 작은 음수의 프로핏을 볼 수 있기 때문이다.
롱 포지션에게 있어서 페이오프가 양수가 아니라는 건 K가 S_T보다 클 때이다.
여기서 더 나아가서, 만기일 시점에서의 롱 포지션의 프로핏은 Profit_T = Payoff_T - (Cost_0)e^(rT) = max(S_T - K, 0) - (C_(0, K))e^(rT)이고,
쇼트 포지션의 프로핏은 반대로 Profit_T = -max(S_T - K, 0) + (C_(0, K))e^(rT) 이다.
예를 들어보자. 현재 시점에서 가격이 한 주당 S_0 = 10000원하는 어떤 주식이 있다고 하자. 이 한 주의 주식에 대한 유로피언 콜 옵션이 하나 있는데,
콜 옵션의 프리미엄이 200원이고, 행사 가격이 10500원이라고 하자. 복리 연 이자율이 2%라고 가정하고, 이 콜 옵션의 만기일이 1년 후라고 하겠다.
내가 이 콜 옵션을 사는 당사자라고 하겠다.
일단, 연 이자율이 2%이므로 순간 이자율은 r = ln(1 + 0.02) = ln(1.02)이다. K = 10500이고, S_0 = 10000, C_(0, K) = 200, T = 1이다.
1년 후의 나의 페이오프는 Payoff_1 = max(S_1 - 10500, 0)이고, 프로핏은 Profit_1 = max(S_1 - 10500, 0) - 200e^(ln(1.02) * 1)
= max(S_1 - 10500, 0) - 200(1.02) = max(S_1 - 10500, 0) - 204이다. S_1은 1년 후의 주식 가격을 뜻한다.
1년 후의 주식 가격이 11000원으로 10% 상승했다고 하자. 그렇다면 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(11000 - 10500, 0) = 500원이다.
같은 시기의 프로핏은 500 - 204 = 296원이다. 대략 300원 이득 봤다.
1년 후의 주식 가격이 9000원으로 10% 하락했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(9000 - 10500, 0) = 0원이고,
프로핏은 0 - 204 = -204원이다. 대략 200원 손해다.
1년 후의 주식 가격이 10000원 그대로인 경우엔, 만기일 시점의 페이오프는 max(10000 - 10500, 0) = 0원으로 계산되고,
프로핏은 0 - 204 = -204원으로 계산된다. 주식 가격이 그대로인데 주식을 직접 산 게 아니라 옵션을 샀기 때문에 프리미엄 지불로 인한 손해를 봤다.
1년 후의 주식 가격이 10600원으로 6% 상승했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 Payoff_1 = max(10600 - 10500, 0) = 100원이고,
프로핏은 100 - 204 = -104원이다. 주식은 상승했지만, 최종적으로 손해를 봤다. 그러나 옵션을 행사하지 않았다면 프로핏이 0 - 204 = -204원일 뻔했다.
1년 후의 주식 가격이 10원(!!)으로 폭락했다고 하자. 페이오프는 max(10 - 10500, 0) = 0원(!!!)이고,
프로핏은 0 - 204 = -204원이다.
1년 후의 주식 가격이 100,000,000원(???)으로 폭등했다면, 페이오프는 max(1억 - 10500, 0) = 99,989,500원이고,
프로핏은 99,989,500 - 204 = 99,989,296원이다.
위의 계산을 보면 알겠지만 나(롱 포지션)의 페이오프가 음수가 될 일은 절대 없다. 주식 가격이 정말 0.000001원으로 폭락하든 말든 옵션을
행사하지만 않으면 장땡이다. 또한, 최저 프로핏이 -204원임을 알 수 있는데, 이는 옵션을 살 경우 최악의 경우의 손해가 프리미엄과 그에 붙는
이자 조금 빼면은 없다는 것을 볼 수 있다. 더불어, 주식 가격이 일정 분 이상 상승한다면 그에 따른 이득은 이득대로 볼 수 있다는 것을 알 수 있다.
그러나 주식을 직접 사는 대신 옵션을 사는 걸 택함으로써 주식이 상승함에도 최종적으로는 손해를 볼 수 있는 경우도 있다는 걸 볼 수 있다.
위의 주식 가격 6% 상승의 예시를 다시 보자.
(위의 설명은 다시 말해, 쇼트 포지션의 페이오프가 양수가 될 일은 절대 없다(!)는 것을 말하고, 또한 쇼트 포지션이 볼 수 있는 최대 프로핏이 프리미엄과
그에 붙는 이자가 전부라는 걸 말한다.)
다시 말하지만 콜 옵션은 롱 포지션 홀더가 기초 자산을 행사가격에 살 수 있는 권리를 뜻한다. 콜 옵션을 파는 사람(옵션 라이터writer 라고 한다)은
즉 "만약 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사한다면 반드시 행사가격에 그 쪽에 기초 자산을 팔겠습니다"라는 자신들이 져야하는 의무를 상대에게 파는 것이다.
이는 다시 말해 10000원짜리 주식이 1억원으로 치솟았고, 이에 대한 행사가격 10500원짜리 콜 옵션을 누군가에게 200원을 받고 팔았다면, 그 콜 옵션을
판 쇼트 포지션 홀더는 롱 포지션 쪽에서 10500원에 1억원 짜리 주식을 사러 왔을 때 (옵션 행사) 정말 입에 거품 물며 팔 수 밖에 없다는 것이다. ㅉㅉ
물론 쇼트 포지션 홀더는 롱 포지션 홀더 쪽에서 옵션을 행사하지 않을 경우 (예를 들어 주식이 8500원으로 떨어졌다거나 10400원으로 올랐지만 10500원보다
더 오르지는 않았을 때) 롱 포지션 쪽에서 옵션 가격으로 쇼트 포지션 측에 지불한 프리미엄(+ 이자)을 고스란히 이익으로 갖는다.
정리하자면, 콜 옵션의 경우 만기일 기준,
롱 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 무한대고, 최저 프로핏은 -(콜 옵션 프리미엄) * (1 + 이자율)^T 혹은 -(프리미엄)*e^(순간 이자율 * T);
쇼트 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 (프리미엄)*e^(순간 이자율 * T)이고, 최저 프로핏은 -무한대임을 알 수 있다.
기본적으로 주식 가격이 "행사가격 + (C_(0, K))e^(rT)" 이상으로 오르는 경우에만 롱 포지션은 이득을 본다.
반대로, 쇼트 포지션은 주가가 "행사가격 + (C_(0, K))e^(rT)" 이하로 내려가는 경우에만 이득을 본다.
또, 행사 가격이 올라갈 경우 콜 옵션 프리미엄은 떨어진다는 걸 알 수 있다. 간단하게 예를 들어, 행사가격이 10500원이 아니라 12000원이라고 하자.
롱 포지션이 이 때 양수의 페이오프를 보는 경우는 1년 후의 주식 가격이 10000원에서 최소한 12000원을 초과했을 때(20% 초과 상승) 뿐인데
어떤 미친 놈이 행사가격 10500원의 옵션이 200원인데 행사가격 12000원짜리 콜 옵션을 200원보다 더 비싼 돈 주려고 사려고 할까?
같은 프리미엄이라고 했을 때, K=10500일 때는 주식이 10704원을 초과하면 양수의 프로핏을 보는데, K=12000이면 주식이 10000원에서
12204원을 초과해야만 양수의 프로핏을 볼 수 있다. 이러면 같은 200원짜리 콜 옵션인데 어떤 병신이 행사가격 12000원짜리를 사겠냐 10500원짜리를 사지.
이 말인 즉슨 옵션 라이터가 K=12000원짜리 콜 옵션을 팔고 싶으면 더 낮은 콜 프리미엄을 불러야 한다는 걸 알 수 있다.
마지막으로 알아둘 것은 Payoff_T = max(S_T - K, 0)라는 "S_T"를 인풋으로 갖는 함수는 롱 포지션의 당사자가 당연한/합리적인 선택을 한다는 가정하에
세워진 함수라는 점이다.
위의 콜 옵션을 보고 보험을 떠올렸다면 네가 맞다. 옵션이라는 파생상품 자체가 위험회피를 목적으로 개발된 상품이다. 주식을 직접샀다면 10000원짜리
주식이 10원으로 폭락했을 때 9990원 손해를 네가 고스란히 봤겠지만, 콜 옵션을 샀다면 그럴 필요가 없다는 것이다. 물론 어느 정도 이상 주식이 상승하지
않으면 옵션을 샀을 경우엔 손해를 보게 되겠지만 나락으로 떨어지는 것보다야...
그리고 애들이 가끔 오해하는 부분이 있는데 콜 옵션 라이터가 기초 자산을 콜 옵션을 파는 시점에서 갖고 있을 필요가 없다. 즉, 쇼트 포지션 홀더가
그 10000원짜리 주식을 지금 당장 갖고 있지 않아도 콜 옵션을 팔 수 있다는 것이다. 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사할 때 딱 그 때 주식을 사서 행사가격
받고 그 주식을 넘기면 된다. 아니면 차익을 넘기던지. 이를 주식 혹은 기초자산을 딜리버(deliver) 한다고 한다.
물론 기초 자산에 대해 어떤 포지션을 취하고 있는 경우도 있다. 옵션 라이터가 기초 자산에 대해 어떤 포지션을 취하고 있고 (예를 들어 기초 자산을
소유했다던지) 이 상태에서 콜 옵션을 파는 행위를 커버드 라이팅(covered writing)이라고 한다.
옵션 라이터가 기초 자산에 대해 어떤 포지션을 취하지 않고 콜 옵션을 파는 행위는 네이키드 라이팅(naked writing)이라고 한다.
풋 옵션[편집]
풋 옵션은 콜 옵션과 반대로 행사가격을 받고 기초 자산을 팔 권리를 말한다. 마지막에 설명하겠지만 보험은 풋 옵션의 일종이다.
네가 영어권 국가에서 살고 있고, 자동차보험 같은 보험을 들 일이 있었다면 봤겠지만 보험사는 자신들이 매달 받는 보험료를 프리미엄이라고 한다.
왜겠냐? 보험도 옵션의 일종이니까 보험 가격을 프리미엄이라고 부르는 것이다.
여기서 잘못 알면 안되는게, 내가 풋 옵션을 산다는 건 (풋 옵션에서 롱 포지션을 잡는다는 것) 나는 "팔 권리"를 산다는 걸 의미한다.
즉, 롱 포지션 쪽에서 "팔 때", 쇼트 포지션 쪽에서 "반드시 사야만 한다"는 것이다. "풋 옵션을 파는" 쪽은 쇼트 포지션 홀더지만, 만기일에
풋 옵션을 행사함으로써 "기초 자산을 넘기고 행사가격을 받는" 쪽은 "롱 포지션 홀더"라는 점 잘 알아둬라. 여기서는 쇼트 포지션이
"기초 자산을 행사가격에 사는" 쪽이다.
위에 콜 옵션 맨 마지막 문단과 비슷하게, 풋 옵션을 사는 롱 포지션 홀더는 풋 옵션을 사는 시점에 기초 자산을 갖고 있을 필요가 없다. 롱 포지션 홀더가
풋 옵션을 행사하길 원하면 그 때 롱 포지션 쪽에서 기초 자산을 구매한 후 쇼트 포지션 쪽에 딜리버 하고 행사가격을 받으면 된다.
다시 S_0를 현재시점 (t=0)의 주식 가격, T를 연 단위 만기일 (예를 들어 1년이면 T=1, 2년이면 T=2, 5개월이면 T = 5/12), K를 행사가격,
r을 순간 이자율, P_(0, K)를 (t=0인 시점의) 행사가격 K의 유로피언 풋 옵션 프리미엄이라고 하자.
풋 옵션의 t=T 시점의 페이오프는 Payoff_T = max(K - S_T, 0)이다. S_T는 t=T일 때의 주식 가격이다.
풋 옵션의 t=T 시점의 프로핏은 Profit_T = Payoff_T - (P_(0, K))e^(rT) = max(K - S_T, 0) - (P_(0, K))e^(rT) 이다.
콜 옵션의 예시와 동일하게 S_0 = 10000, K = 10500, r = ln(1.02), T=1이라고 하고, 이번엔 P_(0, K) = 495원, S_1은 1년 후의 주식 가격이라고 하자.
이 경우, Payoff_1 = max(10500 - S_1, 0)이고 Profit_1 = max(10500 - S_1, 0) - 495(1.02) = max(10500 - S_1, 0) - 504.9원이다.
1년 후의 주식 가격이 11000원으로 10% 상승했다고 하자. 그렇다면 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(10500 - 11000, 0) = 0원이다.
같은 시기의 프로핏은 0 - 504.9 = -504.9원이다. 대략 500원 손해 봤다.
주식이 상승했는데 손해를 봤네? 뭔가 이상하다고 생각할 수도 있지만 사실 이건 쉽게 설명이 된다. 롱 포지션인 내가 옵션을 행사할 경우
받는 행사가격이 10500원인데, 내가 직접 사서 쇼트 포지션 쪽에 딜리버 해야하는 주식 가격이 11000원으로 "올랐기" 때문에
만약 내가 옵션을 행사한다면 -500원의 페이오프가 만기일 시점에 발생하는 것이다. 이 경우 간단히 풋 옵션을 행사하지 않으면 된다.
1년 후의 주식 가격이 9000원으로 10% 하락했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(10500 - 9000, 0) = 1500원이고,
프로핏은 1500 - 504.9 = 995.1원이다. 대략 1000원 이득이다.
주식이 하락했는데 이득을 봤다. 이 경우 역시 위와 마찬가지로, 내가 풋 옵션을 행사할 경우 받는 행사가격이 10500원이고 내가 딜리버 해야하는
주식이 9000원이기 때문에 +1500원이라는 페이오프가 발생한 것이다.
여기서 잠시 "아니 내가 풋 옵션 행사하면 상대방은 무조건 사줘야 되나?" 라고 생각할 애들이 있을 수 있다.
당연히 그래야지 씨발 프리미엄 495원을 받고 "당신이 풋 옵션을 행사하면 사는 의무를 지겠습니다"라는 권리를 쇼트가 롱한테 판 건데.
1년 후의 주식 가격이 10000원 그대로인 경우엔, 만기일 시점의 페이오프는 max(10500 - 10000, 0) = 500원으로 계산되고,
프로핏은 500 - 504.9 = -4.9원으로 계산된다. 주식 가격이 그대로인데 대략 5원 손해를 봤다.
주식 하락의 폭이 프리미엄과 그에 붙은 이자를 메꿀만큼 크지 않았던 탓이다.
1년 후의 주식 가격이 10600원으로 6% 상승했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 Payoff_1 = max(10500 - 10600, 0) = 0원이고,
프로핏은 0 - 504.9 = -504.9원이다. 주식의 상승으로 인해 최종적으로 손해를 봤다.
1년 후의 주식 가격이 10원(!!)으로 폭락했다고 하자. 페이오프는 max(10500 - 10, 0) = 10490원(!!!)이고,
프로핏은 10490 - 504.9 = 9985.1원이다.
1년 후의 주식 가격이 100,000,000원(???)으로 폭등했다면, 페이오프는 max(10500 - 1억, 0) = 0원이고(!),
프로핏은 0 - 504.9 = -504.9원이다.
위의 예시에서 알 수 있는 건
(1) 풋 옵션 롱 포지션 홀더에겐 기초 자산의 가치가 원래가격에서 많이 하락할 수록 이득이다. 그러나 콜 옵션같이 프로핏이 무한대로 발산하지는 않는다.
롱 포지션의 페이오프는 콜 옵션과 같이 언제나 양수다. 이는 다시 말해, 쇼트 포지션의 페이오프는 콜 옵션과 마찬가지로 언제나 음수라는 뜻과 같다.
(2) 롱 포지션의 이론적 최고 페이오프는 행사가격이다. 1년 후 S_1 = 0원으로 주가가 폭삭 주저앉은 경우 풋 옵션을 행사함으로써
행사가격을 받고 (+10500원) 0원짜리 주식을 딜리버 하면 롱 포지션이 받은 행사가격이 곧 페이오프가 되니까. S_1이 마이너스가 될 일은 없잖아.
이는 즉 롱 포지션의 이론적 최고 프로핏이 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원"이라는 것을 말한다.
(3) 롱 포지션의 최저 페이오프는 콜 옵션과 마찬가지로 0원, 최저 프로핏이 -504.9원 = -(P_(0, K))e^(rT) 이다.
이는 다시 말해 쇼트 포지션 홀더의 최고 프로핏이 504.9원 = (P_(0, K))e^(rT) 임을 뜻한다.
(4) 기초 자산가가 많이 오른다고 쇼트 포지션 쪽에 딱히 좋은 건 아니다. 그런 경우엔 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사하지 않을테니까.
정리하자면, 풋 옵션 기준으로,
롱 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원" < ∞, 최저 프로핏은 "-(P_(0, k))e^(rT)원";
쇼트 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 "(P_(0, k))e^(rT)원", 최저 프로핏은 "(P_(0, k))e^(rT) - 행사가격"이다.
콜 옵션과는 다르게 이번엔 이론적으로 무한대의 이득을 보거나 무한대의 손해를 보는 경우는 두 쪽 다 없다.
롱 포지션은 기본적으로 주가가 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원" 이하로 떨어져야 이득을 보고,
쇼트 포지션은 주가가 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원" 이상으로 올라야 이득을 본다.
콜 옵션과는 반대로, 이번엔 행사가격이 오를 경우 풋 옵션 프리미엄도 같이 오른다. K=10500인 경우와 K=12000인 경우를 생각해보자. 둘 다 프리미엄이
495원이라고 했을 때, S_1이 9000원인 경우 K=10500일 때는 롱 포지션의 프로핏이 max(10500 - 9000, 0) - 504.9 = 995.1원,
K=12000일 때는 롱 포지션의 프로핏이 max(12000 - 9000, 0) - 504.9 = 3000 - 504.9 = 2495.1원이다. 한 마디로, 풋 옵션의 행사가격이 높다는 건
같은 주가의 하락 폭이 주어졌을 때 롱 쪽이 더 많은 프로핏을 취할 수 있다는 소리다. 당연히 더 비싸게 프리미엄을 받아도 살 놈은 살 것이기 때문에
쇼트 포지션은 풋 프리미엄을 높게 부르겠지?
이번엔 보험의 경우를 예시로 들어보겠다. 네가 4천만원짜리 차가 한 대 있다고 하자. 1년 보험료(이 역시 프리미엄이라고 부른다)가 200만원이고
자기 부담금(deductible)이 50만원이라고 하자. 네가 든 자동차보험은 1년 후 네 차에 들어간 데미지를 보상한다고 치고, 이자나 감가상각(depreciation) 같은 건
일단 다 무시해라. 이 경우, 자동차보험이 보상하는 데미지는 최대 4000만원 - 50만원 = 3950만원이다. 이는 즉 너의 차가 만기일 전까지 받은 데미지가
0원 이상 3950만원 미만일 경우에 너에게 보상한다는 것이다. S_0 = 4000만원, S_1을 4000만원에서 데미지 값을 뺀 나머지라고 하자.
이 때 네 자동차보험이 너에게 보상하는 금액은 max(3950만원 - S_1, 0)이다. 왜 이 식이 성립하는지 잘 생각해보자...
S_1 = 4000만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 전무하단 뜻이다. 즉 보험이 너에게 보상하는 금액은 없다. max(3950만 - 4000만, 0) = 0원 맞지?
S_1 = 3950만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 50만원이란 뜻이다. 이번에도 보상금은 없다. 자기 부담금이 50만원이었으니까. max(3950만 - 3950만, 0) = 0원!
S_1 = 3949만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 51만원이란 뜻이다. 보상금은 1만원 나오겠네. 즉, max(3950만 - 3949만, 0) = 10000원.
S_1 = 200만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 3800만원이란 뜻이다 ㅉㅉㅉ. 자기 부담금 50만원 빼고 보험은 너에게 3750만원을 지급할 것이다.
max(3950만 - 200만, 0) = 3750만원.
S_1 = 0원이란건 폐차했단 거지 (데미지 4000만원). 보험이 지급하는 금액은 자기 부담금 빼고 3950만원인데, 이는 max(3950만 - 0원, 0) = 3950만원과 동일하다.
보험이 풋 옵션처럼 보이는 이유는? 네가 소유하고 있는 자산의 가치가 떨어질 것으로 예상되니까 (e.g. 사고) 풋 옵션을 산 것과 동일한 효과를 불러오는 것이다.
네가 보험에서 "이득을 봤다"는 건 네가 낸 보험료보다 보험이 너에게 지급한 돈이 더 많을 때 쓰는 표현이다.
다시 말해서, "max(3950만 - S_1, 0) - 1000"이 양수일 때 쓰는 표현이다. 그런데 보험이 너에게 지급한 돈이 많다는 건 그 만큼 네 차가 ㅋ
물론 "보험"에 한정해서 이득을 봤다는 표현을 쓴 거다... 너의 자산 전체로 봤을 때 무슨 변동이 일어났다 이런 것까지 감안하지는 않는다.
이 보험의 예시는 다음의 경우와 동일하다 (이자 = 0, 즉 순간 이자율 = r = ln(1 + 0) = ln(1) = 0; 감가상각 = 0):
S_0 = 차의 가치, S_1 = 1년 후 데미지 제외한 차의 가치, K = S_0 - 자기 부담금, r = 0, T = 1(년), P_(0, K) = 1년 보험료,
Payoff_T = max(K - S_T, 0) = max((S_0 - 자기 부담금) - S_1, 0), Profit_T = Payoff_T - (P_(0, K))e^(rT) = Payoff_T - (P_(0, K)).
콜 옵션 때와 마찬가지로 페이오프와 프로핏은 "S_T"에 대한 함수다.
풋-콜 등가식 (Put-Call Parity)[편집]
사실 페이오프와 프로핏 함수는 그 어떠한 파생상품의 경우에도 통한다. 선도, 스왑, 선물 등등...
간단한 예시 몇 가지를 설명해놓겠다.
먼저, 제로 쿠폰 채권(zero-coupon bond)이란 발행가격을 만기일에 돌려주는 조건으로 현 시점에 이자 빼고 투자해야 하는 채권을 말한다.
예를 들어서 연 복리 25% (ㅋㅋㅋㅋ) 1년 만기 10000원짜리 제로 쿠폰 채권은 이런 식으로 거래를 한다:
(1) 현 시점에 8000원을 제로 쿠폰 채권에 투자한다.
(2) 1년 후 8000(1 + 0.25) = 8000(1.25) = 10000원을 돌려받는다.
이게 끝이다. 아주 간단하다.
위의 예시에서 25%는 현물요율(혹은 스팟 레이트, spot rate)라고 하며, 10000원은 액면가(face value) 혹은 리뎀션 밸류(redemption value)라고 한다.
엄밀히 따지면 페이스 밸류와 리뎀션 밸류는 다른 개념이지만, 우리는 지금 쿠폰을 발행하지 않는 채권인 제로 쿠폰 채권을 예시로 들고 있으므로
깊게 들어가지는 않겠다. 시간 나면 새로 문서 열고 쓰지 뭐.
물론 조건이 있다. 현 시점에 내가 투자한 8000원은 만기일이 될 때까지 돌려 받을 수 없다...
또 다른 예시를 들어보자. 스팟 레이트 25% 2년 만기 10000원짜리 제로 쿠폰 채권은 현재 얼마일까?
정답은 아주 간단하다. 10000 * (1 + .25)^(-2) = 6400원이다.
즉, 누군가 스팟 레이트 25% 2년 만기 10000원짜리 제로 쿠폰 채권을 발행했다면, 그 사람은
"지금 6400원을 나에게 투자하면 2년 후에 6400(1 + .25)^2 = 10000원을 돌려주겠다"는 약속을 한 셈이다.
물론 대한민국에서 25%를 스팟 레이트로 발행할 미친 놈은 없다.
이런 제로 쿠폰 채권들을 이용해서 매년 일정한 금액을 돌려받는 설계를 할 수도 있는데, 이런 설계를 포트폴리오라고 한다.
예를 들어 1년 만기 스팟 레이트 5%, 2년 만기 스팟 레이트 6%, 3년 만기 스팟 레이트 7%, 4년 만기 스팟 레이트가 8%라고 하자.
각각 r_1 = 0.05, r_2 = 0.06, r_3 = 0.07, 그리고 r_4 = 0.08로 표기하겠다.
(만기가 길다는 건 그 만큼 더 긴 기간동안 돈이 제로 쿠폰 채권에 잠겨있어야 한다는 뜻이다. 때문에 만기일까지 오래 걸릴수록 스팟 레이트는 올라간다.
더 긴 기간동안 투자할 인센티브가 있어야지)
위의 제로 쿠폰 채권들이 모두 액면가가 10000원이라고 하자. 앞으로 4년간 연말에 10000원씩을 돌려받고 싶다면 현재 내가 투자해야 할 금액의 총액은
PV_0 = 10000*(1 + r_1)^(-1) + 10000*(1 + r_2)^(-2) + 10000*(1 + r_3)^(-3) + 10000*(1 + r_4)^(-4)
= 10000*(1.05)^(-1) + 10000*(1.06)^(-2) + 10000*(1.07)^(-3) + 10000*(1.08)^(-4)
= 33937.0512208원이다. 대략 34000원이다.
다시 페이오프와 프로핏 함수로 돌아오자. 스팟 레이트 r (연 복리)의 만기일 T년, 액면가 K원의 제로 쿠폰 채권은 결론적으로
(은행이자는 i, 연 복리라고 가정했을 때)
Payoff_T = K (왜냐하면 T년 후 만기일에 액면가 만큼을 돌려받으므로)
Profit_T = Payoff_T - (K(1 + r)^(-T))((1 + i)^(T)) = K*(1 - ((1 + i)/(1 + r))^(T))가 된다.
(왜냐하면 제로 쿠폰 채권의 t=0시점 비용은 이자를 뺀 가격, 즉 K(1 + r)^(-T)이고 이는 t=T 시점에 (1 + i)^T 만큼 불어난다고 가정하니까)
그런데 위의 프로핏은 은행이자가 스팟 레이트와 동일할 경우 Profit_T = K*(1 - 1) = 0의 결과를 불러온다.
즉, 스팟 레이트가 현 은행이자와 동일한 제로 쿠폰 채권의 프로핏은 0원으로 계산되고,
이는 (은행이자가 만기일까지 변하지 않는다는 가정 하에) 은행에 저축하는 것과 제로 쿠폰 채권에 투자하는 것은 동일한 효과를 불러온다는 걸 이야기한다.
조금 생각해보면 이는 존나 당연한 소리이므로 많이 설명 안 하고 넘어가겠다.
다음으로 선도(forward)에 대해 잠시 짚고 넘어가겠다.
이제, 어떤 주식 S가 현재 S_0원에 거래된다고 하고, 모든 이자는 스팟 레이트를 포함해 순간 이자율 r로 통일되었다는 가정 하에
아래 두 가지 경우를 생각해보자.
(1) 주식 S에 걸린 유로피언 콜 옵션을 사고, 옵션을 행사하게 될 경우를 대비해 행사가격 K원을 만기일에 돌려받는 제로 쿠폰 채권에 투자한다.
(2) 주식 S를 사고, 같은 주식에 대한 행사가격 K원짜리 유로피언 풋 옵션을 산다.
(1)의 경우, 페이오프가 "콜 옵션을 산다"는 부분과 "제로 쿠폰 채권을 산다"는 부분으로 나뉘는데,
이는 다시 말해 (1)의 전략의 페이오프와 프로핏이 각각:
Payoff_T = max(S_T - K, 0) + K (즉, 콜 옵션에서 오는 페이오프 + 제로 쿠폰 채권에서 오는 페이오프),
Profit_T = max(S_T - K, 0) - (C_(0, K))e^(rT) - (K*e^(-rT))e^(rT) = max(S_T - K, 0) - (C_(0, K) + K*e(-rT))e^(rT)
로 계산됨을 나타낸다.
(2)의 경우는 Payoff_T가 "S라는 주식을 산다"라는 부분과 "같은 주식에 대한 풋 옵션을 산다"라는 부분으로 나뉜다.
주식에서 롱 포지션을 잡는 경우, Payoff_T = S_T (T년 후의 주식의 가치)고 Profit_T = S_T - (S_0)e^(rT)다.
한 마디로, 주식을 지금 사고 (i.e. S_0원을 t=0 시점에 지급) T년 후까지 팔지 않고 그대로 갖고 있을 경우,
내가 T년 후에 갖고 있을 재산은 S_T원이며 (i.e. T년 후의 주식의 가치),
Profit_T = Payoff_T - (t=0 시점에서의 비용)*(T년 후까지 비용에 붙을 이자) 이므로 위와 같은 Profit_T = S_T - (S_0)e^(rT)이 성립하는 것이다.
풋 옵션의 경우는 위에서 본 것과 같이 Payoff_T = max(K - S_T, 0), Profit_T = max(K - S_T, 0) - (P_(0, K))e^(rT).
결국 (2)에서 나온 전략의 페이오프와 프로핏은 각각
Payoff_T = S_T + max(K - S_T, 0),
Profit_T = S_T + max(K - S_T, 0) - (S_0 + P_(0, K))e^(rT)
라는 계산이 나온다.
(2)의 페이오프를 좀 더 자세히 보자.
Payoff_T = S_T + max(K - S_T, 0) = S_T + K - S_T (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T + 0 (S_T > K의 경우)
= K (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T (S_T > K의 경우).
(1)의 페이오프의 경우엔 Payoff_T = max(S_T - K, 0) + K = 0 + K (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T - K + K(S_T > K의 경우)
= K (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T (S_T > K의 경우).
즉 (1)의 페이오프는 (2)의 페이오프와 정확히 일치한다는 걸 알 수 있다.
(전략 (1)의 페이오프) = (전략 (2)의 페이오프).
일물일가의 법칙(law of one price)이라는 게 있다. 시장에서 같은 상품이라면 같은 가격에 팔려야 한다는 논리인데, 위의 페이오프 계산 결과를 보면
알겠지만 (1)과 (2)는 결과적으로 같은 상품임을 알 수 있다.
같은 상품임으로 같은 가격에 팔렸다고 생각해보자. "같은 가격에 팔렸다"라는 논리는 다시 말해
(전략 (1)의 t=0 시점의 비용) = C_(0, K) + K*e(-rT) = S_0 + P_(0, K) = (전략 (2)의 t=0 시점의 비용),
더 나아가 이는 (전략 (1)의 페이오프) - (C_(0, K) + K*e(-rT))e^(rT) = (전략 (2)의 페이오프) - (S_0 + P_(0, K))e^(rT),
즉 (전략 (1)의 프로핏) = (전략 (2)의 프로핏)임을 나타낸다!
C_(0, K) + K*e(-rT) = S_0 + P_(0, K) <- 이 식에서 P를 왼쪽으로, Ke^-rT를 오른쪽으로 보내면
C_(0, K) - P_(0, K) = S_0 - K*exp(-rT)
위의 식을 풋-콜 등가식 (Put-Call Parity)라고 한다.
참고로 위의 식은 선도 거래(forward contract)의 결과에서도 유도가 되고, 블랙-숄즈 방정식에서도 유도가 되는 결과다.
그리고 만약 두 전략의 비용이 일치하지 않는다면 "둘 다 같은 상품이지만 한 쪽을 더 싸게 살 수 있는" 기회가 시장에 존재한다는 것이고,
이는 다시 말해 한 쪽 전략을 "조립"해 낸 다음 다른 쪽의 전략을 사려는 사람들에게 팔면 차익을 볼 수 있는 기회가 존재한다는 뜻이 된다.
이런 무위험 차익거래를 아비트라지라고 한다. 물론 이런 아비트라지는 빠르게 없어진다.
위의 콜 옵션과 풋 옵션을 설명했을 때 들었던 예시를 보자.
S_0 = 10000원, K = 10500원, C_(0, K) = 200원, P_(0, K) = 495원, r = ln(1.02), T = 1이였는데,
계산해보면 200 - 495 = -295 ≈ -294.1176... = 10000 - 10500*exp(-ln(1.02)*1). 대충 맞아 떨어진다.
옵션 전략[편집]
각 전략은 페이오프의 합계를 기준으로 정해졌다.
푸디시어리 콜 (Fudiciary call)[편집]
롱 콜 (행사가격 K) + 롱 제로 쿠폰 본드 (액면가 K)
위에서 풋-콜 등가식을 설명할 때 쓴 전략 (1)이 딱 이 전략이다.
플로어 (Floor) 또는 롱 플로어 (Long floor)[편집]
롱 에셋 (페이오프 S_T) + 롱 풋 (행사가격 K)
위에서 풋-콜 등가식을 설명할 때 쓴 전략 (2)가 딱 이 전략이다.
커버드 풋 (Covered put) 또는 쇼트 플로어 (Short floor)[편집]
쇼트 에셋 (S_T) + 쇼트 풋 (K)
캡 (Cab) 또는 롱 캡 (Long cab)[편집]
쇼트 에셋 (S_T) + 롱 콜 (K)
커버드 콜 (Covered call) 또는 쇼트 캡 (Short cab)[편집]
롱 에셋 (S_T) + 쇼트 콜 (K)
신세틱 롱 포워드 (Synthetic long forward)[편집]
롱 콜 + 쇼트 풋 (동일한 행사가격 K)
신세틱 쇼트 포워드 (Synthetic short forward)[편집]
쇼트 콜 + 롱 풋 (동일한 행사가격 K)
불 스프레드 콜 (Bull spread call)[편집]
롱 콜 (행사가격 K_1) + 쇼트 콜 (행사가격 K_2) (조건: K_1 < K_2)
불 스프레드 풋 (Bull spread put)[편집]
롱 풋 (K_1) + 쇼트 풋 (K_2) (조건: K_1 < K_2)
베어 스프레드 콜 (Bear spread call)[편집]
쇼트 콜 (K_1) + 롱 콜 (K_2) (조건: K_1 < K_2)
베어 스프레드 풋 (Bear spread put)[편집]
쇼트 풋 (K_1) + 롱 풋 (K_2) (조건: K_1 < K_2)
박스 스프레드 (Box spread)[편집]
신세틱 롱 포워드 (K_1) + 신세틱 쇼트 포워드 (K_2) (조건: K_1 != K_2)
박스 스프레드는 신세틱 롱 포워드 (K_1) + 신세틱 쇼트 포워드 (K_2)
= 롱 콜 (K_1) + 쇼트 풋 (K_1) + 쇼트 콜 (K_2) + 롱 풋 (K_2)
= 롱 콜 (K_1) + 쇼트 콜 (K_2) + 쇼트 풋 (K_1) + 롱 풋 (K_2) 으로 다시 쓰일 수 있고,
만약 K_1 < K_2라면 이는 불 스프레드 콜 (Bull spread call) + 베어 스프레드 풋 (Bear spread put),
K_1 > K_2라면 베어 스프레드 콜 (Bear spread call) + 불 스프레드 풋 (Bull spread put)으로 다시 쓰일 수 있다.
다시 말해 박스 스프레드의 페이오프는 위 두 줄에서 유도한 전략들의 페이오프 합계와 일치한다는 뜻이다.
레이시오 스프레드 (Ratio spread)[편집]
a * 롱 콜/풋 (K_1) + b * 쇼트 콜/풋 (K_2) (조건: K_1 != K_2, a와 b는 자연수)
"/"(슬래시)는 "또는"이란 뜻으로 썼다.
콜라 (Collar)[편집]
롱 풋 (K_1) + 쇼트 콜 (K_2) (조건: K_1 < K_2)
콜라드 스톡 (Collared stock)[편집]
롱 에셋 (S_T) + 롱 풋 (K_1) + 쇼트 콜 (K_2) (조건: K_1 < K_2)
이 전략의 페이오프는 롱 플로어 (K_1) + 쇼트 콜 (K_2)의 페이오프,
또는 쇼트 캡 (K_2) + 롱 풋 (K_1)의 페이오프,
또는 커버드 콜 (K_2) + 롱 풋 (K_1)의 페이오프와 동일하다.
스트래들 (Straddle) 또는 롱 스트래들 (Long straddle)[편집]
롱 콜 + 롱 풋 (동일한 행사가격 K)
쇼트 스트래들 (Short straddle)[편집]
쇼트 콜 + 쇼트 풋 (동일한 행사가격 K)
스트랭글 (Strangle) 또는 롱 스트랭글 (Long strangle)[편집]
롱 풋 (K_1) + 롱 콜 (K_2) (조건: K_1 < K_2)
쇼트 스트랭글 (Short strangle)[편집]
쇼트 풋 (K_1) + 쇼트 콜 (K_2) (조건: K_1 < K_2)
버터플라이 스프레드 (Butterfly spread)[편집]
쇼트 스트래들 (K_2) + 롱 스트랭글 (K_1, K_3) (조건: K_1 < K_2 < K_3, K_2 = (K_1 + K_3)/2)
버터플라이 스프레드 콜 (Butterfly spread call)[편집]
롱 콜 (행사가격 K_1) + 2 * 쇼트 콜 (K_2) + 롱 콜 (K_3) (조건: K_1 < K_2 < K_3, K_2 = (K_1 + K_3)/2)