행위

진자

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진자은(는) 과학입니다.

줄을 매단 물체가 양옆으로 좌우운동을 하는것을 말한다.

이움직임을 진자운동이라고 한다.

진자운동의 대표적예는 바이킹이나 롯데월드의 자이로스윙, 쏘우영회의 진자운동도끼트랩이 있다.

이 운동을 기술하는 미분방정식

lθ/dt² = -g sin θ
l은 줄길이, g는 중력가속도
t는 시간, θ는 줄이 돌아간 각도

이다.

단진자 풀이[편집]

먼저 각진동수 ω = √g/l를 정의해 방정식을
θ/dt² = -ω² sin θ
이렇게 보기 좋도록 정리하자.

이어서 양변에 2ㆍdθ/dt를 곱하면
2ㆍθ/dt²dθ/dt = -2ω² sin θdθ/dt
이며 양변을 적분하면
(dθ/dt)² = 2ω²(cos θ - cos θ0)
= 4ω²(sin² θ0/2 - sin² θ/2)이 됨.(θ0은 최대각도 ㅇㅇ)

그 다음 양변에다 코서인² θ/2를 곱한 뒤 sin θ/2 = y sin θ0/2, cos θ/2 dθ = 2dy sin θ0/2 으로 치환하면 위 방정식은
(dy/dt)² = ω²(1 - y²)(1 - y² sin² θ0/2)으로 바뀜.

근데 이건 야코비 타원함수 미분방정식이니 y값은
y = sn (ωt|sin² θ0/2)로 구해지고 이걸 θ에 관해 정리하면

θ = 2 Asin [sin θ0/2ㆍsn (ωt|sin² θ0/2)]
(단 θ0<180°)

으로 나옴 ㅇㅇ 참고로 수식 간략화 할려고 t=0일때 가장 낮은 곳을 지나도록 잡았음.

이에 따라 진자 주기는 4/ω K (sin² θ0/2)로 구해짐 ㅇ