미적분Ⅱ

2009 개정 교육과저ㅏㅇ

고등학교 수학(2009 개정 교육과정)
공통	수학Ⅰ	수학Ⅱ	미적분Ⅰ	확률과 통계
자연계	미적분Ⅱ		기하와 벡터

01 문서ㄴ/ㄴ 수학과 관련된 것ㅇ/ㄹ 다룹니다. 01 문서ㄴ/ㄴ 수학과 관련된 무언7ㅏ0ㅔ 대해서 다루ㄴ/ㄴ 문서입니다. ㄱ/ㅂ식 수학일 수도 전공 수학일 수도 있고, 혹ㅇ/ㄴ 수학과 관련된 역사속의 인물일지도 모ㄹ/ㅂ니다. 01 문서ㄹ/ㄹ 읽다7ㅏ 수학뽕0ㅔ 빠져버려도 본 위키ㄴ/ㄴ 책임지지 않ㅅ/ㅂ니다. 1 + 1 = 귀요미>_<

주의. 이 게임은 요령 없이 하다간 저절로 똥손, 똥발이 되어버리는 존나 어려운 게임입니다. 이 게임은 존나게 어려워서 몇 번이고 유다희 누님을 영접할 위험이 있습니다. 계속하면 정신이 나가 샷건을 칠 수 있으니 하기 전에 다량의 항암제를 준비하거나 전문가와 상의를 권고합니다. 하지만 이미 늦었군요, YOU DIED

ㄴ 그래도 확통보다 쉽다. 다만 주의할건 가끔 교육청/경찰대에서 튀어나오는 그로테스크한 문제 기준으로는 확통이 더 극혐이지만, 최근 평가원 수학에서의 확통은 갓ㅡ적분 앞에서는 어린애장난 급이다.

물론 2011년 평가원의 스티커문제처럼 언제 그랬냐는 듯이 확통으로 대가리 후려칠수도 있으니 게을리는 하지 마라.

이 문서는 이과가 작성했거나, 또는 이과에 대해 다룹니다. 무슨 생각으로 작성한 건지는 잘 모르겠습니다만 맞는말임은 틀림 없습니다. 이과는 아다를 못 떼 마법을 쓰니까 말이죠...

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이 문서에서 설명하는 대상은 애미애비가 처뒤졌습니다. 이게 아부지도 없는 게 까불어!!! 너희 아부진 돌아가셨어, 그것도 모르냐? 애미 애비 뒤진년아! 그지? 그녀석 양친이 없잖아?

개요

고등학교 2학년 이과 학생들이 배우며, 이과 학생들의 대학수학능력시험 수학 영역 가형 범위에 해당된다.

이거 하다보면 위 틀에 개빡친 얼굴이 되는데 진짜 이래된다.

ㄴ그거 인정

미적분Ⅰ에선 주로 다항 함수의 기초적인 미분법과 적분법을 배웠다면 여기서는 더 나아가 지수로그 함수, 삼각함수와 같은 초월함수들의 미분법과 적분법을 배운다.

단원

Ⅰ. 지수 함수와 로그 함수

Ⅱ. 삼각함수

Ⅲ. 미분법

Ⅳ. 적분법

상세

기벡과 확통에 가려져 있지만, 그동안 헬이라 불릴만한 문제는 죄다 미적분 2에서 나왔다.

솔직히 말해서 미적분2의 난이도는 가히 기벡을 찍어누를정도로 정신나간 난이도를 자랑하지만

기벡은 재능이 약간 있기도하고 아무래도 미적분이 익숙하다보니 급식충에겐 기벡이 최종보스가 되었다

이번 수능 가형 30번이 미2 미분법에서 나왔다. 오르비 추산 오답률 98퍼라는 아름다운 수치를 보여주는중 캬 씨발

그래도 미적은 익숙하기라도 하지 이런거나 이런게 아닌게 어디냐

중학교 수준의 도형응용과 스까서 잘낸다. 외심 내심 삼각형갖고 장난치는거 등 알아둬야함

출제

• 지수함수와 로그함수
  어렵게 안 나온다.

개정전 문과한정 개좆같은 숫자새기 30번문제가 있었는데 다행히 이과로 안 넘어왔다. 작정하고 내려면 낼 수도 있지만, 이미 이과는 낼 문제가 존나 많으므로 숫자세기가 나올 가능성은 0에 가깝다.

옛날 문과수학의 킬러필수문항 이었는데 이과에게로 토스함 호호 높으신분들의 자녀중에 문돌문돌님께서 이걸 못하시나보다.

ㄴ는 개뿔 수알못. 지수, 로그함수라는 소재만 이과로 넘어왔을 뿐 개수세기 문제는 여전히 문과수학에서 건재하다. 요즘에는 분수함수나 무리함수 쪽에서 내는 중. 차라리 18수능때 개수세기 문제가 3점짜리 호구 문제로 나왔다는 걸 가지고 높으신분 드립을 쳐라. 그게 훨씬 더 설득력이 있다.

• 삼각함수
  간단한 삼각방정식이나 덧셈정리가 나온다. 준킬러 부분에서는 그림이 주어지고 문제에서 요구하는 길이나 넓이의 극한을 구하는 문제가 단골로 어렵게 나온다.
  그려야 할 보조선 그어주고 극한 계산하면 끝이었지만 최근에 어렵게 내는 추세다. 극한식 구해도 극한을 구하지 못하는 일도 꽤 많다. 다만 16 수능에서는 졸라 쉽게 나왔다. 중학교 수학에서 나왔던 개념인 외심, 내심, 도형의 닮음, 피타고라스 정리 등을 잘 알고 있으면 풀릴 수 있는 문제들도 꽤 된다.

• 미분법
  함수가 모든 점에서 미분가능/연속이다/불연속/미분불능이 되는 점의 개수가 □이다 이런 식으로 조건이 주로 주어지고 보통 함숫값을 묻는다.
  y=asinx고 a를 모르는 식으로 함수가 뭔지 대충 아는 경우엔 수식화 가능한 기하학적 조건을 찾아볼 필요가 있다.
  함수식이 아예 안 주어진 경우는 네가 지금껏 배운 함수 중 조건 만족하는 거 찾아봐라. 수능에서 자신의 추측을 당장 증명하려고 애쓸 필요는 없다.
  그래프 그릴 때 미분에만 의존하지 말고 정의역/점근선 신경써라. 변곡점은 쓸모없는 개념이 아니다. 쓸모있는데, 처음부터 구할 필요는 없다. 필요하다 싶으면 구해라.

ㄴ 위 위키러의 말이 맞는게 처음부터 쓸모없는 내용을 교과서에 적어두지 않는다. 모든 내용이 수능에 나온다고 생각하고 내용을 잘 정리하여 숙지해야한다. 특히 극댓값과 극솟값. 간혹가다 극댓값이 더 큰 값이고 극솟값이 더 작은 값이지 않을까라고 생각할 수도 있는데, 교과서만 보더라도 틀렸다는 것을 알 수 있다. y=csc x나 y=sec x만 하더라도 극댓값보다는 극솟값이 더 크다. 근데 고등학교 과정에서 극솟값이 더 큰 그래프는 y=x+1/x[[1]] 정도를 빼면 거의 볼 일이 없다.

• 적분법
  예전에도 그래왔고 지금까지도 변수랑 미지수를 존나게 때려박아 애미뒤진 난이도를 자랑한다. 사실상 최종보스. 그리고 씨발 적분 특성상 계산이 좆같은게 패시브다. 적분 관련된 최대 최소 나오면 피적분함수 그래프 그려서 적분의 의미(넓이) 이용하고, 적분식 관련해서 나오면 치환적분 부분적분 대칭성 이용해라. 대칭성은 놓치기 쉬운데 떠올리긴 힘들어 보이지만 처음부터 의식하면 금방 떠오르니까 기억해둬라.

애미뒤진 난이도를 넘은거같다. 애미애비 둘다 뒤진듯하다.

ㄴ최근들어 느끼는건데 공도벡은 어느정도 할만 하다 하지만 미적2에서 나오는 미분 적분 짬뽕해서 식 구하는 문제는 좆 재능충이 아니라면 절대 못푼다 그냥 재능충도 못풀고 조옷나 재능충이어야한다

참고로 부분적분법 계산에 인생무상느끼고 문과로 튄 놈도 있다

ㄴ이과에 가고 싶다면 일단 부분적분문제를 한번 풀어봐라 견적 딱 나온다

도함수의 활용이 제일 어렵다

ㄴ 난 정적분이 제일 어렵더라 ㅋㅋ

팁

수학 나형으로 튀는새끼들중에 기벡가기도 전에 미적분2에서 쫄튀하는새끼들많은데 수능국어를 제외한 모든과목이 그렇듯 재능 별로 필요없다 수학은 무엇보다 개념이 중요하다 개념에 충실하며 공식을 증명하고 암기하고 문제 해설보면서 떠듬떠듬 적용하다보면 이해는 니대가리에 절로 쳐박히게 된다 좀만하다보면 내용도 생각보다 그리 많지도않다 체화되는게 시간이좀 필요할뿐

수학이라는게 당연히 그렇지만 이전걸 대충알면 다음거에서 좆된다. 지수로그 '함수' 니까 부족한 게이는 수II로 돌아가자.

특히 반만 이과인새끼들이 함수의 극한이랑 삼각함수의 극한 개좇으로보고 좀만풀고 재끼는경우가 허다한데 함수의극한은 21번 30번문제 단골인 함수 추론문제와 직결이되고 삼각함수의 극한에서 자주 나오는 내심 외심 삼각비는 공간도형을 할때 주된 밑거름이 된다 (제2코사인은 덤으로) 제발 미적분2는 샅샅이 꼼꼼하게 공부하자 로피탈 나부랭이 백날써봤자 수능에 안나오니까 로피탈로 쏀같은거 100문제 10분컷 하며 딸딸이 치지마라

ㄴ 이거 레알이다. 함수의 극한은 도함수의 활용 그래프 그리기 점근선 구할때 필수고 특히 삼각함수 극한은 도형문제랑 존나 짬뽕시켜서 넓이나 길이 구하는 문제가 모의고사나 수능 4점짜리에서 밥먹듯이 나온다.

그리고 미적분을 잘할라면 다항함수 초월함수의 개형을 그리는법을 꿰고있어야한다 일일이 증감표그려서 함수구할라하면 시간이 너무 오래걸리므로 축소버전인 부호표를 통해서 빠르게 개형을 추론하는법을 익히는게 좋다

부호표는 x축을 그어놓고 주요 x좌표를 찍은후 각구간별로 증감+-을 표시하고 점근선을 긋고 바로 그래프를 그리는것이다

특히 멍청하게 매함수마다 이계도함수 써서 오목볼록 일일히 쓰는 병신새끼도 있던데 시간낭비다 그거안따져도 하다보면 증감을보고서 직관적으로 보인다 이계도함수를 직접적으로 묻는다거나 또는 도함수에서 답이 안나올때나 오목 볼록판정을 하는거다

점근선은 각각의 좌표와 +-무한대 에다가 리미트를 때려서 구한다 그니까 극한 열심히하자

독학충은 WolframAlpha를 치고 니가 노트에다가 꼴리는 함수 개형을 그려놓고 그게 맞나틀리나 프로그램에다가 또 입력하고서 비교하면서 공부하자(엄밀하게 정확하지는 않아도 된다)

어느정도 이해했다고 생각할때 제일 어려운건 적분이다. 치환적분이 그렇게 좆같을수 없다.

대체 뭘 씨발 치환해야 할까요? 우선 배각공식을 쓰고, 그다음에 나오는 탄젠트를 치환하면 sec^2xdx가 dt이고... ㅁㄴㅇㄻㄴㅇㄹ 하기싫어진다.

근데 답지를 보면 cos(x/2)을 치환하더니 함수가 정리된다. 이때 딸 100번치고 오는 현타를 느낄 수 있다.

공부할때 함수에 있는 모든걸 치환해봐야 실력이 는다고 할 수 있다.

(조온나)하다보면 쉽다.

이때쯤 다 이해했다 싶을 때 계산실수가 자주 일어난다.

2랑 e를 머릿속에서 이 이 거리다 잘못쓴다거나 상수를 미분 안한다거나 분수미분에서 뭘 먼저 미분하는지 까먹는다거나 참 많은 함정이 있다.

완벽해지자.

미적분만 잡힌다면 기벡 확통은 솔직히 까놓고말하면 개껌이다(대가리 터지는 어려운문제는 기벡보단 미적분에서 많이나온다 확통은 더더욱 안나온다)

고득점을 향할라면 최대최소와 미분계수의 정의와 특히 21번문제를 풀기위해서는 평균값-롤-사잇값(중간값) 정리를 세트로 달달달 외우고 있는게 좋다

미분을 마스터했다면 적분은 그냥 구분구적법 쓰는법정도하고 음함수미분법 치환적분 정도만 할줄알면 나머진다 공식때리면 끝이다

공식 외울꺼 에이포용지 두장이면 다쓰니까 쫄지말고 열심히하자

미적분2에 조금만 요령이생기고 재미가 붙으면 문과수학 재미없어서 못한다 ㅇㄱㄹㅇ

ㄴ ㅇㄱㄹㅇ ㅂㅂㅂㄱ 정치나 경제를 비롯한 문과 과목도 관심이 많고 이과보다 문과에 친구들이 더 많은데 이과수학 재미들려서 전과따위는 고려하지 않는 1인

유용할수도 있는 공식

tan^2(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa)

(xlnx-x)'=lnx

∫lnx/x dx=(lnx)^2/2+C

∫(e^x)sinxdx=(e^x)(sinx-cosx)/2+C, ∫(e^x)cosxdx=(e^x)(sinx+cosx)/2+C

∫(x+n)e^xdx=(x+n-1)e^x+C

∫(0부터 45도까지)cosxdx=∫(45도부터 90도까지)sinxdx=루트2/2

lim(h->0){f(a+h)-f(a-h)/h}=2f'(a)

∫sin^2(x)dx=(2x-sin2x)/4+C, ∫cos^2(x)dx=(2x+sin2x)/4+C

f(x)=f(a-x) -> x=a/2 선대칭 f(x)+f(a-x)=b -> (a/2,b/2) 점대칭

∫1/1+x^2 dx=t+C(x=tant)

∫1/sqrt(1-x^2) dx=t+C(x=sint)(0≤cost일때)

∫sqrt(1-x^2)dx=(2t+sin2t)/4+C (x=sint, cost≥0)

2022 개정 교육과정

2022 개정 교육과정 수학
공통과목	공통수학1 · 공통수학2
일반선택	대수 · 미적분 I · 확률과 통계
진로선택	미적분 II · 기하 · 경제 수학 · 인공지능 수학 · 직무 수학
융합선택	수학과 문화 · 실용 통계 · 수학과제 탐구

역시나 미적분2가 부활했다. 2015의 미적분을 계승한 과목이다.

단원

수열의 극한

급수와 등비급수가 나온다.

미분법

초월함수를 미분하는 과목. 그리고 이계도함수 즉 미분을 두 번 하는 게 나온다. 자연로그 ln과 sec csc cot 같은 삼각함수의 역이 나온다.

적분법

치환적분법과 부분적분법이 나온다.